平面 $ax + 6y - 2z + 1 = 0$ と直線 $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{5}$ が平行となるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

平面 $ax + 6y - 2z + 1 = 0$ と直線 $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{5}$ が平行となるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線の方向ベクトルを求めます。直線の式から、方向ベクトルは $\vec{v} = (-1, 2, 5)$ となります。

次に、平面の法線ベクトルを求めます。平面の方程式から、法線ベクトルは $\vec{n} = (a, 6, -2)$ となります。

直線と平面が平行であるためには、直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトルが垂直である必要があります。つまり、これらのベクトルの内積が0になる必要があります。

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$

内積を計算すると：

$(-1)a + (2)(6) + (5)(-2) = 0$

$-a + 12 - 10 = 0$

$-a + 2 = 0$

これを解くと、 $a = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$