点 $C(4, 1, -3)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (2, 2, -1)$ に平行な直線と、点 $C$ を中心とする半径6の球との交点を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $C(4, 1, -3)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (2, 2, -1)$ に平行な直線と、点 $C$ を中心とする半径6の球との交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線の方程式をパラメータ表示で表す。

点 $C(4, 1, -3)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (2, 2, -1)$ に平行な直線の方程式は、パラメータ $t$ を用いて以下のように表されます。

$\vec{r} = \vec{OC} + t\vec{v} = (4, 1, -3) + t(2, 2, -1) = (4+2t, 1+2t, -3-t)$

つまり、直線上の任意の点 $P$ の座標は $(4+2t, 1+2t, -3-t)$ と表されます。

ステップ2: 球の方程式を立てる。

点 $C(4, 1, -3)$ を中心とする半径6の球の方程式は以下の通りです。

$(x-4)^2 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 6^2 = 36$

ステップ3: 直線と球の交点の座標を求める。

直線上の点 $P(4+2t, 1+2t, -3-t)$ が球面上にあるとき、その座標は球の方程式を満たします。よって、直線の方程式を球の方程式に代入して、$t$ についての方程式を立てます。

$((4+2t)-4)^2 + ((1+2t)-1)^2 + ((-3-t)+3)^2 = 36$

$(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2 = 36$

$4t^2 + 4t^2 + t^2 = 36$

$9t^2 = 36$

$t^2 = 4$

$t = \pm 2$

ステップ4: 交点の座標を求める。

$t = 2$ のとき、交点の座標は $(4+2(2), 1+2(2), -3-2) = (8, 5, -5)$

$t = -2$ のとき、交点の座標は $(4+2(-2), 1+2(-2), -3-(-2)) = (0, -3, -1)$

3. 最終的な答え

直線と球の交点は $(8, 5, -5)$ と $(0, -3, -1)$ です。