2つの円、円①：$x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$ と 円②：$x^2 + y^2 + 2x = 1$ がある。これらの円が異なる2点で交わることを示す。

1. 問題の内容

2つの円、円①：$x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$ と 円②：$x^2 + y^2 + 2x = 1$ がある。これらの円が異なる2点で交わることを示す。

2. 解き方の手順

2つの円が異なる2点で交わることを示すには、以下の手順で行います。

1. 2つの円の中心間の距離を求める。

2. 各円の半径を求める。

3. 中心間の距離が、2つの円の半径の和より小さく、差の絶対値より大きいことを示す。

まず、円①と円②の式を標準形に変形します。

円①：$x^2 - 2x + y^2 + 4y = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$

よって、円①の中心は $(1, -2)$ で、半径 $r_1 = \sqrt{5}$ です。

円②：$x^2 + 2x + y^2 = 1$

$(x + 1)^2 - 1 + y^2 = 1$

$(x + 1)^2 + y^2 = 2$

よって、円②の中心は $(-1, 0)$ で、半径 $r_2 = \sqrt{2}$ です。

次に、2つの円の中心間の距離 $d$ を求めます。

$d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

ここで、2つの円が異なる2点で交わるための条件を確認します。

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$

$|\sqrt{5} - \sqrt{2}| < 2\sqrt{2} < \sqrt{5} + \sqrt{2}$

$\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{2} \approx 1.414$ であるから、

$|2.236 - 1.414| < 2(1.414) < 2.236 + 1.414$

$0.822 < 2.828 < 3.650$

これは正しい不等式なので、2つの円は異なる2点で交わります。

3. 最終的な答え

円①と円②の中心間の距離は $2\sqrt{2}$ であり、それぞれの半径は $\sqrt{5}$ と $\sqrt{2}$ である。

中心間距離が半径の和と差の間に存在するため、$|\sqrt{5}-\sqrt{2}| < 2\sqrt{2} < \sqrt{5}+\sqrt{2}$ を満たすので、円①と円②は異なる2点で交わる。