$\theta$ が鋭角で、$\tan \theta$ が与えられたときに、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。 (1) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ (2) $\tan \theta = 7$ (3) $\tan \theta = \sqrt{11}$

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\tan \theta$ が与えられたときに、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

(1) $\tan \theta = \frac{1}{3}$

(2) $\tan \theta = 7$

(3) $\tan \theta = \sqrt{11}$

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ および $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用します。

(1) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ の場合

$\sin \theta = \frac{1}{3} \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(\frac{1}{3}\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9}\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{10}{9}\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$。よって

$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = \frac{1}{3} \cos \theta = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(2) $\tan \theta = 7$ の場合

$\sin \theta = 7 \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(7\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$49\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$50\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{50}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{50}}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$。よって

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

$\sin \theta = 7 \cos \theta = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

(3) $\tan \theta = \sqrt{11}$ の場合

$\sin \theta = \sqrt{11} \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(\sqrt{11}\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$11\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$12\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{12}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{12}}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$。よって

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$\sin \theta = \sqrt{11} \cos \theta = \sqrt{11} \cdot \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{10}$, $\sin \theta = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

(3) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{6}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{33}}{6}$