与えられた三角比の値 $\sin 20^\circ$, $\sin 40^\circ$, $\sin 150^\circ$, $\sin 170^\circ$ を小さい順に並べる。

1. 問題の内容

与えられた三角比の値 $\sin 20^\circ$, $\sin 40^\circ$, $\sin 150^\circ$, $\sin 170^\circ$ を小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

$\sin \theta$ のグラフ（$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$）の形状を考える。

$\sin \theta$ は $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ で単調増加、$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で単調減少である。

また、$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$ である。

したがって、

$\sin 170^\circ = \sin (180^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ$

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

である。

よって、与えられた三角比の値は、$\sin 20^\circ$, $\sin 40^\circ$, $\frac{1}{2}$, $\sin 10^\circ$ となる。

角度が小さいほど $\sin \theta$ の値は小さいので、

$\sin 10^\circ < \sin 20^\circ < \sin 40^\circ$ である。

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であるから、$\sin 40^\circ$ と $\sin 30^\circ$ の大小関係を調べる。

$\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ であるから、$\sin 40^\circ < \sin 45^\circ$ である可能性が高い。

しかし、$\sin 30^\circ$ と $\sin 40^\circ$ の大小関係を正確に知るには、加法定理を用いる必要がある。しかし、この問題では三角比の表は用いないものとする、とあるので、大まかな値で判断することになる。

$\sin 10^\circ < \sin 20^\circ < \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ である。

$\sin 40^\circ > \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であると推測される。

したがって、

$\sin 170^\circ = \sin 10^\circ < \sin 20^\circ < \sin 150^\circ < \sin 40^\circ$

となる。

3. 最終的な答え

$\sin 170^\circ$, $\sin 20^\circ$, $\sin 150^\circ$, $\sin 40^\circ$