問題41：$A$ は鋭角である。$\sin A = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題41：$A$ は鋭角である。$\sin A = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本公式である $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して $\cos A$ の値を求めます。

$\sin A = \frac{2}{5}$ を代入すると、

$(\frac{2}{5})^2 + \cos^2 A = 1$

$\frac{4}{25} + \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = 1 - \frac{4}{25}$

$\cos^2 A = \frac{25}{25} - \frac{4}{25}$

$\cos^2 A = \frac{21}{25}$

$A$ は鋭角なので、$\cos A > 0$ であるから、

$\cos A = \sqrt{\frac{21}{25}}$

$\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan A$ の値を求めます。$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ を利用します。

$\tan A = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}$

$\tan A = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{21}}$

$\tan A = \frac{2}{\sqrt{21}}$

$\tan A = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan A = \frac{2\sqrt{21}}{21}$