平面 $\mathbb{R}^2$ において、方程式 $2x + y = 3$ を満たす点 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ の作る図形を調べる。ベクトル $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ とし、$\mathbf{p}$ を $\mathbf{n}$ 方向の単位ベクトルとする。 式 $*$ は、内積 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{n} \rangle = 3$ となり、$\langle \mathbf{x}, \frac{\mathbf{n}}{||\mathbf{n}||} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{p} \rangle = \frac{3}{\sqrt{5}}$ を満たす。この式は、点 $\mathbf{x}$ を $\mathbf{p}$ 軸に正射影(直交投影)した点の位置が (1) という一定値であることを表す。作図により、このような点 $\mathbf{x}$ は、$\mathbf{p}$ 軸上の (2) の位置にある点を通り $\mathbf{p}$ 軸に (3: 平行な、垂直な、斜めに交差する) 直線をなすことがわかる。 式 $*$ の直線は、原点から $\mathbf{p}$ と (4: 同じ、反対) 向きに、距離が (5) の位置にある。

幾何学ベクトル内積平面法線ベクトル空間図形
2025/7/21
## Q6 の問題

1. 問題の内容

平面 R2\mathbb{R}^2 において、方程式 2x+y=32x + y = 3 を満たす点 x=(xy)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} の作る図形を調べる。ベクトル n=(21)\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} とし、p\mathbf{p}n\mathbf{n} 方向の単位ベクトルとする。 式 * は、内積 x,n=3\langle \mathbf{x}, \mathbf{n} \rangle = 3 となり、x,nn=x,p=35\langle \mathbf{x}, \frac{\mathbf{n}}{||\mathbf{n}||} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{p} \rangle = \frac{3}{\sqrt{5}} を満たす。この式は、点 x\mathbf{x}p\mathbf{p} 軸に正射影(直交投影)した点の位置が (1) という一定値であることを表す。作図により、このような点 x\mathbf{x} は、p\mathbf{p} 軸上の (2) の位置にある点を通り p\mathbf{p} 軸に (3: 平行な、垂直な、斜めに交差する) 直線をなすことがわかる。 式 * の直線は、原点から p\mathbf{p} と (4: 同じ、反対) 向きに、距離が (5) の位置にある。

2. 解き方の手順

* **(1)** x,p=35\langle \mathbf{x}, \mathbf{p} \rangle = \frac{3}{\sqrt{5}} は、点 x\mathbf{x}p\mathbf{p} 軸に正射影した点の位置が 35\frac{3}{\sqrt{5}} という一定値であることを意味する。
* **(2)** x,p=35\langle \mathbf{x}, \mathbf{p} \rangle = \frac{3}{\sqrt{5}} より、点 x\mathbf{x}p\mathbf{p} 軸上の 35\frac{3}{\sqrt{5}} の位置にある点を通る。
* **(3)** 点 x\mathbf{x} は、p\mathbf{p} 軸上の 35\frac{3}{\sqrt{5}} の位置にある点を通る直線を描き、p\mathbf{p} 軸に垂直である。なぜなら、x,n=3\langle \mathbf{x}, \mathbf{n} \rangle = 3 を満たす点は直線であり、その方向ベクトルは n\mathbf{n} に垂直であるから。
* **(4)** 式 * の直線 2x+y=32x + y = 3 は、原点からの距離が 2(0)+0322+12=35\frac{|2(0) + 0 - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} である。この直線は、原点から n\mathbf{n} の方向(つまり p\mathbf{p} と同じ方向)にある。
* **(5)** 上記より、原点からの距離は 35\frac{3}{\sqrt{5}} である。

3. 最終的な答え

(1) 35\frac{3}{\sqrt{5}}
(2) 35\frac{3}{\sqrt{5}}
(3) 垂直な
(4) 同じ
(5) 35\frac{3}{\sqrt{5}}
## Q7 の問題

1. 問題の内容

空間 R3\mathbb{R}^3 の中の平面 2x+y5z=32x + y - 5z = -3 の法線ベクトルを n=(215)\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} とする。n\mathbf{n} と同じ向きのノルム(長さ)1のベクトルを n\mathbf{n'} とする。x=(xyz)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} とすると、x,n=(1)\langle \mathbf{x}, \mathbf{n'} \rangle = (1) なので、この平面は原点から n\mathbf{n} と (2: 同じ、反対) 向きに距離が (3) の位置にある。

2. 解き方の手順

* **(1)** 平面の方程式 2x+y5z=32x + y - 5z = -3x,n=3\langle \mathbf{x}, \mathbf{n} \rangle = -3 と表す。n=nn=122+12+(5)2(215)=130(215)\mathbf{n'} = \frac{\mathbf{n}}{||\mathbf{n}||} = \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-5)^2}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{30}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}。よって、x,n=x,nn=330\langle \mathbf{x}, \mathbf{n'} \rangle = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{n} \rangle}{||\mathbf{n}||} = \frac{-3}{\sqrt{30}}
* **(2)** 平面の方程式は x,n=330\langle \mathbf{x}, \mathbf{n'} \rangle = \frac{-3}{\sqrt{30}} と表される。これは、原点から n\mathbf{n'} と反対方向に距離 330\frac{3}{\sqrt{30}} の位置にあることを意味する。n\mathbf{n}n\mathbf{n'} は同じ方向である。
* **(3)** 平面と原点との距離は 2(0)+1(0)5(0)+322+12+(5)2=330\frac{|2(0) + 1(0) - 5(0) + 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-5)^2}} = \frac{3}{\sqrt{30}} である。

3. 最終的な答え

(1) 330\frac{-3}{\sqrt{30}}
(2) 反対
(3) 330\frac{3}{\sqrt{30}}

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