平面 $\mathbb{R}^2$ において、方程式 $2x + y = 3$ を満たす点 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ の作る図形を調べる。ベクトル $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ とし、$\mathbf{p}$ を $\mathbf{n}$ 方向の単位ベクトルとする。 式 $*$ は、内積 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{n} \rangle = 3$ となり、$\langle \mathbf{x}, \frac{\mathbf{n}}{||\mathbf{n}||} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{p} \rangle = \frac{3}{\sqrt{5}}$ を満たす。この式は、点 $\mathbf{x}$ を $\mathbf{p}$ 軸に正射影(直交投影)した点の位置が (1) という一定値であることを表す。作図により、このような点 $\mathbf{x}$ は、$\mathbf{p}$ 軸上の (2) の位置にある点を通り $\mathbf{p}$ 軸に (3: 平行な、垂直な、斜めに交差する) 直線をなすことがわかる。 式 $*$ の直線は、原点から $\mathbf{p}$ と (4: 同じ、反対) 向きに、距離が (5) の位置にある。
2025/7/21
## Q6 の問題
1. 問題の内容
平面 において、方程式 を満たす点 の作る図形を調べる。ベクトル とし、 を 方向の単位ベクトルとする。 式 は、内積 となり、 を満たす。この式は、点 を 軸に正射影(直交投影)した点の位置が (1) という一定値であることを表す。作図により、このような点 は、 軸上の (2) の位置にある点を通り 軸に (3: 平行な、垂直な、斜めに交差する) 直線をなすことがわかる。 式 の直線は、原点から と (4: 同じ、反対) 向きに、距離が (5) の位置にある。
2. 解き方の手順
* **(1)** は、点 を 軸に正射影した点の位置が という一定値であることを意味する。
* **(2)** より、点 は 軸上の の位置にある点を通る。
* **(3)** 点 は、 軸上の の位置にある点を通る直線を描き、 軸に垂直である。なぜなら、 を満たす点は直線であり、その方向ベクトルは に垂直であるから。
* **(4)** 式 の直線 は、原点からの距離が である。この直線は、原点から の方向(つまり と同じ方向)にある。
* **(5)** 上記より、原点からの距離は である。
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3) 垂直な
(4) 同じ
(5)
## Q7 の問題
1. 問題の内容
空間 の中の平面 の法線ベクトルを とする。 と同じ向きのノルム(長さ)1のベクトルを とする。 とすると、 なので、この平面は原点から と (2: 同じ、反対) 向きに距離が (3) の位置にある。
2. 解き方の手順
* **(1)** 平面の方程式 を と表す。。よって、
* **(2)** 平面の方程式は と表される。これは、原点から と反対方向に距離 の位置にあることを意味する。 と は同じ方向である。
* **(3)** 平面と原点との距離は である。
3. 最終的な答え
(1)
(2) 反対
(3)