空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にない。点Dは$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$を満たし、点Pは線分OAを1:2に内分し、点Qは線分OBの中点である。直線OD上の点Rが、直線QRと直線PCが交点をもつように定められているとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比OR:RDを求めよ。

1. 問題の内容

空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にない。点Dは$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$を満たし、点Pは線分OAを1:2に内分し、点Qは線分OBの中点である。直線OD上の点Rが、直線QRと直線PCが交点をもつように定められているとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比OR:RDを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Pと点Qの位置ベクトルを$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を使って表す。

PはOAを1:2に内分するので、$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$.

QはOBの中点なので、$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$.

Rは直線OD上の点なので、実数$k$を用いて$\overrightarrow{OR} = k\overrightarrow{OD}$と表せる。

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$なので、$\overrightarrow{OR} = k(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})$.

直線QRと直線PCが交点を持つので、その交点をSとすると、SはQR上の点でありPC上の点でもある。

QR上の点であることから、実数$s$を用いて

$\overrightarrow{OS} = s\overrightarrow{OQ} + (1-s)\overrightarrow{OR} = s(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}) + (1-s)k(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OS} = k(1-s)\overrightarrow{OA} + (\frac{s}{2} + 2k(1-s))\overrightarrow{OB} + 3k(1-s)\overrightarrow{OC}$

PC上の点であることから、実数$t$を用いて

$\overrightarrow{OS} = t\overrightarrow{OP} + (1-t)\overrightarrow{OC} = t(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}) + (1-t)\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OS} = \frac{t}{3}\overrightarrow{OA} + 0\overrightarrow{OB} + (1-t)\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$は一次独立なので、各係数を比較して

$k(1-s) = \frac{t}{3}$

$\frac{s}{2} + 2k(1-s) = 0$

$3k(1-s) = 1-t$

これらの式から$k$を求める。

2つ目の式より、$s + 4k(1-s) = 0$、つまり$s = -4k(1-s)$。

1つ目の式を3倍すると$3k(1-s) = t$。

3つ目の式に代入すると、$t = 1-t$となり、$t = \frac{1}{2}$.

$3k(1-s) = \frac{1}{2}$.

$k(1-s) = \frac{1}{6}$.

$s = -4k(1-s) = -4 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{2}{3}$.

$k(1-(-\frac{2}{3})) = \frac{1}{6}$.

$k(\frac{5}{3}) = \frac{1}{6}$.

$k = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$.

よって、$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{10}\overrightarrow{OD}$.

$\overrightarrow{RD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OD} - \frac{1}{10}\overrightarrow{OD} = \frac{9}{10}\overrightarrow{OD}$.

$OR : RD = \frac{1}{10} : \frac{9}{10} = 1:9$.

3. 最終的な答え

1:9