問題は2つあります。 (13) $tan θ = -2\sqrt{6}$ ($0^\circ \le θ \le 180^\circ$)のとき、$cos θ$の値を求めよ。 (14) 半径2の円Oに内接する三角形ABCがあり、弧AB:弧BC:弧CA = 3:4:5 であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(13) $tan θ = -2\sqrt{6}$ ($0^\circ \le θ \le 180^\circ$)のとき、$cos θ$の値を求めよ。

(14) 半径2の円Oに内接する三角形ABCがあり、弧AB:弧BC:弧CA = 3:4:5 であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(13) $tan θ = -2\sqrt{6}$ より、$tan^2 θ = 24$。

$1 + tan^2 θ = \frac{1}{cos^2 θ}$ の関係を用いると、

$1 + 24 = \frac{1}{cos^2 θ}$

$25 = \frac{1}{cos^2 θ}$

$cos^2 θ = \frac{1}{25}$

$cos θ = \pm \frac{1}{5}$

$0^\circ \le θ \le 180^\circ$ であり、$tan θ < 0$ より $90^\circ < θ \le 180^\circ$ であるため、$cos θ < 0$。したがって、$cos θ = -\frac{1}{5}$

(14) 円周角の定理より、弧の比は円周角の比に等しい。

弧AB:弧BC:弧CA = 3:4:5 より、$\angle C : \angle A : \angle B = 3:4:5$

$\angle C + \angle A + \angle B = 180^\circ$ なので、

$3x + 4x + 5x = 180^\circ$

$12x = 180^\circ$

$x = 15^\circ$

したがって、$\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 75^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$ (Rは外接円の半径)

$R = 2$ なので、$2R = 4$

$a = 4 sin A = 4 sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$b = 4 sin B = 4 sin 75^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$c = 4 sin C = 4 sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2}ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{3}+2)}{2} = \frac{6+2\sqrt{3}}{2} = 3 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(13) $cos θ = -\frac{1}{5}$

(14) $3 + \sqrt{3}$