三角形ABCの内角をそれぞれA, B, Cとするとき、以下の等式を証明する。 (1) $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B+C}{2}$ (2) $\sin A = \sin (B+C)$

1. 問題の内容

三角形ABCの内角をそれぞれA, B, Cとするとき、以下の等式を証明する。

(1) $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B+C}{2}$

(2) $\sin A = \sin (B+C)$

2. 解き方の手順

(1)

三角形の内角の和は180°であるから、

$A + B + C = 180^{\circ}$

両辺を2で割ると

$\frac{A}{2} + \frac{B+C}{2} = 90^{\circ}$

$\frac{A}{2} = 90^{\circ} - \frac{B+C}{2}$

両辺のサインを取ると

$\sin \frac{A}{2} = \sin (90^{\circ} - \frac{B+C}{2})$

$\sin (90^{\circ} - x) = \cos x$の関係より

$\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B+C}{2}$

よって示された。

(2)

三角形の内角の和は180°であるから、

$A + B + C = 180^{\circ}$

$A = 180^{\circ} - (B+C)$

両辺のサインを取ると

$\sin A = \sin (180^{\circ} - (B+C))$

$\sin (180^{\circ} - x) = \sin x$の関係より

$\sin A = \sin (B+C)$

よって示された。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B+C}{2}$

(2) $\sin A = \sin (B+C)$