座標平面上に点A(7, 1)がある。直線 $l$ は $y = \frac{x}{2}$ である。 (1) x軸に関して点Aと対称な点Bの座標を求めよ。また、直線 $l$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求めよ。 (2) 点Pはx軸上を動き、点Qは直線 $l$ 上を動くとき、AP+PQ+QA を最小にする点P, Qの座標を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

座標平面上に点A(7, 1)がある。直線 $l$ は $y = \frac{x}{2}$ である。

(1) x軸に関して点Aと対称な点Bの座標を求めよ。また、直線 $l$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求めよ。

(2) 点Pはx軸上を動き、点Qは直線 $l$ 上を動くとき、AP+PQ+QA を最小にする点P, Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

x軸に関して点A(7, 1)と対称な点Bは、x座標は変わらず、y座標の符号が変わる。したがって、点Bの座標は (7, -1)となる。

次に、直線 $l: y = \frac{x}{2}$ に関して点A(7, 1)と対称な点Cの座標を求める。点Cの座標を(s, t)とする。

線分ACの中点Mは直線 $l$ 上にあるので、

$\frac{1+t}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7+s}{2}$

$2(1+t) = 7+s$

$s - 2t = -5$ ...(1)

また、直線ACは直線 $l$ と直交するので、直線ACの傾きは -2となる。

$\frac{t-1}{s-7} = -2$

$t - 1 = -2(s-7)$

$t - 1 = -2s + 14$

$2s + t = 15$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より $s = 2t - 5$

これを(2)に代入すると、

$2(2t - 5) + t = 15$

$4t - 10 + t = 15$

$5t = 25$

$t = 5$

$s = 2(5) - 5 = 5$

したがって、点Cの座標は (5, 5)となる。

(2)

点A(7, 1)をx軸に関して対称な点B(7, -1)とする。さらに、点Aを直線 $l$ に関して対称な点C(5, 5)とする。

AP+PQ+QA を最小にするには、BP+PQ+QA を最小にすればよい。さらに、BP+PQ+QC を最小にすればよい。

点B, Cは固定されているので、BP+PQ+QC が最小となるのは、B, P, Q, Cが一直線上にあるときである。

x軸と直線BCの交点が点Pとなる。

直線BCの方程式を求める。

傾きは $\frac{5 - (-1)}{5 - 7} = \frac{6}{-2} = -3$

よって、直線BCの方程式は $y - (-1) = -3(x - 7)$

$y + 1 = -3x + 21$

$y = -3x + 20$

x軸との交点は、y = 0なので、

$0 = -3x + 20$

$3x = 20$

$x = \frac{20}{3}$

よって、点Pの座標は $(\frac{20}{3}, 0)$

次に、直線BCと直線 $l: y = \frac{x}{2}$ の交点が点Qとなる。

連立方程式を解く。

$y = -3x + 20$

$y = \frac{x}{2}$

$\frac{x}{2} = -3x + 20$

$x = -6x + 40$

$7x = 40$

$x = \frac{40}{7}$

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{40}{7} = \frac{20}{7}$

よって、点Qの座標は $(\frac{40}{7}, \frac{20}{7})$

3. 最終的な答え

(1) 点B(7, -1), 点C(5, 5)

(2) 点P($\frac{20}{3}$, 0), 点Q($\frac{40}{7}$, $\frac{20}{7}$)