問題1: (1) 2点 $A(-1, 3)$、$B(3, 1)$ について、線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ の座標を求める。 (2) 線分 $AB$ を $1:2$ に外分する点 $Q$ の座標を求める。 問題2: 点 $A(4, 2)$ に関して、点 $P(1, 1)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1:

(1) 2点 $A(-1, 3)$、$B(3, 1)$ について、線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ の座標を求める。

(2) 線分 $AB$ を $1:2$ に外分する点 $Q$ の座標を求める。

問題2:

点 $A(4, 2)$ に関して、点 $P(1, 1)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ の座標は、内分点の公式を用いて計算します。

点 $P$ の $x$ 座標は、

$x = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3}{2 + 1} = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3}$

点 $P$ の $y$ 座標は、

$y = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

したがって、点 $P$ の座標は $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ です。

(2) 線分 $AB$ を $1:2$ に外分する点 $Q$ の座標は、外分点の公式を用いて計算します。

点 $Q$ の $x$ 座標は、

$x = \frac{-2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3}{1 - 2} = \frac{2 + 3}{-1} = \frac{5}{-1} = -5$

点 $Q$ の $y$ 座標は、

$y = \frac{-2 \cdot 3 + 1 \cdot 1}{1 - 2} = \frac{-6 + 1}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5$

したがって、点 $Q$ の座標は $(-5, 5)$ です。

問題2:

点 $A$ が線分 $PQ$ の中点であるので、中点の公式を利用します。

点 $Q$ の座標を $(x, y)$ とすると、

点 $A(4, 2) = \left( \frac{1 + x}{2}, \frac{1 + y}{2} \right)$

したがって、

$\frac{1 + x}{2} = 4$ より $1 + x = 8$ なので $x = 7$

$\frac{1 + y}{2} = 2$ より $1 + y = 4$ なので $y = 3$

よって、点 $Q$ の座標は $(7, 3)$ です。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 点 $P$ の座標: $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$

(2) 点 $Q$ の座標: $(-5, 5)$

問題2:

点 $Q$ の座標: $(7, 3)$