以下の3つの円の方程式を求める問題です。 (1) 中心が $(1, -4)$ で半径が $3$ の円の方程式を求めます。 (2) 中心が $(-1, 2)$ で原点を通る円の方程式を求めます。 (3) 2点 $A(2, 3)$ と $B(4, -1)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの円の方程式を求める問題です。

(1) 中心が $(1, -4)$ で半径が $3$ の円の方程式を求めます。

(2) 中心が $(-1, 2)$ で原点を通る円の方程式を求めます。

(3) 2点 $A(2, 3)$ と $B(4, -1)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式の標準形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ です。ここで、$(a, b)$ は円の中心、$r$ は円の半径です。中心 $(1, -4)$、半径 $3$ を代入します。

(2) 中心が $(-1, 2)$ であることから、円の方程式は $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ と表せます。この円は原点 $(0, 0)$ を通るので、この点を代入すると $(0 + 1)^2 + (0 - 2)^2 = r^2$、つまり $1 + 4 = r^2$ より $r^2 = 5$ となります。

(3) 円の中心は線分 $AB$ の中点であり、その座標は $(\frac{2+4}{2}, \frac{3+(-1)}{2}) = (3, 1)$ です。半径は、円の中心と点 $A$ との距離です。つまり $\sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.　半径の2乗は

5.　よって、方程式は $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 9$

(2) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

(3) $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$