平面 $ax + 6y - 2z + 1 = 0$ と直線 $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{5}$ が平行となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

平面 $ax + 6y - 2z + 1 = 0$ と直線 $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{5}$ が平行となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

平面の法線ベクトルを $\vec{n}$、直線の方向ベクトルを $\vec{d}$ とする。平面と直線が平行となるためには、$\vec{n}$ と $\vec{d}$ が垂直である必要がある。つまり、$\vec{n} \cdot \vec{d} = 0$ が成り立つ。

平面 $ax + 6y - 2z + 1 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (a, 6, -2)$ である。

直線 $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{5}$ の方向ベクトルは $\vec{d} = (-1, 2, 5)$ である。

$\vec{n} \cdot \vec{d} = 0$ より、

$$(a, 6, -2) \cdot (-1, 2, 5) = 0$$

$$-a + 12 - 10 = 0$$

$$-a + 2 = 0$$

$$a = 2$$

3. 最終的な答え

$a = 2$