3点 $A(1,4,0)$, $B(-1,2,6)$, $C(5,-1,3)$ が与えられている。四角形ABCDが平行四辺形となるような点Dの座標を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(1,4,0)$, $B(-1,2,6)$, $C(5,-1,3)$ が与えられている。四角形ABCDが平行四辺形となるような点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCDとなるためには、$\vec{AB} = \vec{DC}$ または $\vec{AD} = \vec{BC}$ が成り立つ必要がある。ここでは $\vec{AD} = \vec{BC}$ を用いてDの座標を求める。

まず、$\vec{BC}$を計算する。

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (5, -1, 3) - (-1, 2, 6) = (6, -3, -3)$

次に、点Dの座標を$(x, y, z)$とおくと、$\vec{AD}$は

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = (x, y, z) - (1, 4, 0) = (x-1, y-4, z)$

$\vec{AD} = \vec{BC}$ より、

$(x-1, y-4, z) = (6, -3, -3)$

よって、

$x-1 = 6$

$y-4 = -3$

$z = -3$

これらの式を解くと、

$x = 7$

$y = 1$

$z = -3$

したがって、点Dの座標は$(7, 1, -3)$となる。

3. 最終的な答え

Dの座標は $(7, 1, -3)$