$\theta$ が鋭角であるとき、$\sin\theta$ の値が与えられた場合に、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合について計算します。 (1) $\sin\theta = \frac{12}{13}$ (2) $\sin\theta = \frac{1}{3}$ (3) $\sin\theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角であるとき、$\sin\theta$ の値が与えられた場合に、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合について計算します。

(1) $\sin\theta = \frac{12}{13}$

(2) $\sin\theta = \frac{1}{3}$

(3) $\sin\theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$

2. 解き方の手順

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係式を利用して $\cos\theta$ を求めます。

$\theta$ が鋭角なので $\cos\theta > 0$ となることに注意します。

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して $\tan\theta$ を求めます。

(1) $\sin\theta = \frac{12}{13}$ のとき

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$\cos\theta = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$

(2) $\sin\theta = \frac{1}{3}$ のとき

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) $\sin\theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$ のとき

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{\sqrt{10}}{5})^2 = 1 - \frac{10}{25} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$\cos\theta = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{5}{13}$, $\tan\theta = \frac{12}{5}$

(2) $\cos\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) $\cos\theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$, $\tan\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$