正十角形について、以下の2つの数を求めます。 (1) 対角線の本数 (2) 3個の頂点を選ぶことによって作られる三角形の個数

1. 問題の内容

正十角形について、以下の2つの数を求めます。

(1) 対角線の本数

(2) 3個の頂点を選ぶことによって作られる三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 対角線の本数を求める場合、まず10個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの総数を求めます。これは $_{10}C_2$ で計算できます。

次に、正十角形の辺の数である10を引きます。なぜなら、隣り合う頂点を選ぶと辺になり、対角線ではないからです。

よって、対角線の本数は $_{10}C_2 - 10$ で求められます。

計算すると、

$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

対角線の本数 = $45 - 10 = 35$ 本となります。

(2) 3個の頂点を選ぶことによって作られる三角形の個数を求める場合、10個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの総数を計算します。

これは $_{10}C_3$ で求められます。

計算すると、

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 個となります。

3. 最終的な答え

(1) 対角線の本数: 35 本

(2) 三角形の個数: 120 個