(1) 二等辺三角形 ABC において、AB = AC = $2\sqrt{10}$、BC = 4 である。BC の中点を M とし、重心を G とする。AM と AG を求める。 (2) 三角形 ABC において、角 BAC の二等分線と BC の交点を D とする。AB = 6, BD = 3, DC = 2 のとき、AC と AI:ID を求める。I は内心である。 (3) 図において O は三角形 ABC の外心である。角 OCA, 角 OCB、外接円の半径を求める。OM = 3 である。

1. 問題の内容

(1) 二等辺三角形 ABC において、AB = AC = $2\sqrt{10}$、BC = 4 である。BC の中点を M とし、重心を G とする。AM と AG を求める。

(2) 三角形 ABC において、角 BAC の二等分線と BC の交点を D とする。AB = 6, BD = 3, DC = 2 のとき、AC と AI:ID を求める。I は内心である。

(3) 図において O は三角形 ABC の外心である。角 OCA, 角 OCB、外接円の半径を求める。OM = 3 である。

2. 解き方の手順

(1)

AM を求める:

三角形 ABM は直角三角形である。三平方の定理より、

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

$AM^2 + 2^2 = (2\sqrt{10})^2$

$AM^2 + 4 = 40$

$AM^2 = 36$

$AM = 6$

重心 G は中線 AM を 2:1 に内分するので、

$AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \times 6 = 4$

(2)

AC を求める:

角の二等分線の性質より、

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

$\frac{6}{AC} = \frac{3}{2}$

$AC = \frac{6 \times 2}{3} = 4$

AI:ID を求める:

内心 I は三角形の内角の二等分線の交点である。三角形 ABD において、角 A の二等分線と BD の交点が I である。

$\frac{AI}{ID} = \frac{AB + AC}{BC} = \frac{6 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

よって AI:ID = 2:1

(3)

三角形の頂点 A から辺 BC へ下ろした垂線の足が M である。

$∠OCA = 20^\circ$ である。

三角形 OBC は二等辺三角形なので、OB = OC である。

$∠OBC = ∠OCB$

$∠BOC = 2 \times ∠BAC = 2 \times 100^\circ = 200^\circ$

しかし、$∠BOC$ は $360^\circ$ から $200^\circ$ を引いた $160^\circ$ であると考えるべきである。外心 O は $∠BOC$ が鋭角であれば三角形の内部に存在し、$∠BOC$ が鈍角であれば三角形の外部に存在する。本問では外心 O が三角形の外部にあるので、$∠BOC=160^\circ$。

$2 \times ∠OBC = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

$∠OCB = 10^\circ$

$OM = 3$ である。

外接円の半径を R とすると、$OC = R$ である。

$MC = 2$ である。

三角形 OMC は直角三角形であるから、

$OM^2 + MC^2 = OC^2$

$3^2 + 2^2 = R^2$

$9 + 4 = R^2$

$R^2 = 13$

$R = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1)

AM = 6

AG = 4

(2)

AC = 4

AI:ID = 2:1

(3)

∠OCA = 20°

∠OCB = 10°

外接円の半径 = $\sqrt{13}$