高さが8cmの円柱Pと、高さが18cmの円柱Qがあります。円柱PとQの体積は等しく、円柱Qの底面の半径は円柱Pの底面の半径より5cm短いとき、円柱Pの底面の半径を求めなさい。

## 問題9の解答

1. 問題の内容

高さが8cmの円柱Pと、高さが18cmの円柱Qがあります。円柱PとQの体積は等しく、円柱Qの底面の半径は円柱Pの底面の半径より5cm短いとき、円柱Pの底面の半径を求めなさい。

2. 解き方の手順

円柱Pの底面の半径を $r$ (cm)とします。

円柱Qの底面の半径は $r-5$ (cm)となります。

円柱の体積は $底面積 \times 高さ$ で求められるので、円柱Pの体積は $\pi r^2 \times 8$ で、円柱Qの体積は $\pi (r-5)^2 \times 18$ で表されます。

円柱PとQの体積が等しいので、次の等式が成り立ちます。

$\pi r^2 \times 8 = \pi (r-5)^2 \times 18$

$\pi$ を消去し、両辺を2で割ると

$4r^2 = 9(r-5)^2$

$4r^2 = 9(r^2 - 10r + 25)$

$4r^2 = 9r^2 - 90r + 225$

$0 = 5r^2 - 90r + 225$

両辺を5で割ると

$0 = r^2 - 18r + 45$

因数分解すると

$0 = (r - 3)(r - 15)$

したがって $r = 3$ または $r = 15$ となります。

円柱Qの半径は $r-5$ なので、$r>5$ でなければなりません。

したがって $r=3$ は不適です。

3. 最終的な答え

円柱Pの底面の半径は15cm。