四面体OABCがあり、点Pの位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を用いて $\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$ と表される。直線CPと三角形OABの交点をQとするとき、位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、点Pの位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を用いて $\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$ と表される。直線CPと三角形OABの交点をQとするとき、位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Qが直線CP上にあることから、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OQ} = (1-k) \overrightarrow{OC} + k \overrightarrow{OP}$ と表せる。

$\overrightarrow{OP}$ を代入すると、

$\overrightarrow{OQ} = (1-k) \overrightarrow{OC} + k \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{k}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{k}{3} \overrightarrow{OB} + (1-k-\frac{k}{3}) \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{k}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{k}{3} \overrightarrow{OB} + (1-\frac{4k}{3}) \overrightarrow{OC}$

次に、点Qが平面OAB上にあることから、$\overrightarrow{OC}$ の係数が0になる。

$1 - \frac{4k}{3} = 0$

$\frac{4k}{3} = 1$

$k = \frac{3}{4}$

これを $\overrightarrow{OQ}$ の式に代入すると、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{3/4}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{3/4}{3} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{OB}$