半径10の球に内接する直円錐の体積の最大値 $V_1$ と、球の体積 $V_2$ の比 $V_1:V_2$ を求めよ。

1. 問題の内容

半径10の球に内接する直円錐の体積の最大値 $V_1$ と、球の体積 $V_2$ の比 $V_1:V_2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直円錐の高さを $h$、底面の半径を $r$ とおく。球の半径は10である。

$h$と$r$の関係を求める。

直円錐の高さを $h = 10+x$ とすると、

$r^2 + x^2 = 10^2$

$r^2 = 100-x^2$

直円錐の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (100-x^2) (10+x)$

$V = \frac{1}{3} \pi (1000+100x-10x^2-x^3)$

$V$ を $x$ で微分して、$V$ の極値を求める。

$\frac{dV}{dx} = \frac{1}{3} \pi (100-20x-3x^2)$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2+20x-100 = 0$

$(3x-10)(x+10) = 0$

$x = \frac{10}{3}, -10$

$x> -10$なので、$x = \frac{10}{3}$

$x = \frac{10}{3}$ のとき、$h = 10 + \frac{10}{3} = \frac{40}{3}$

$r^2 = 100 - (\frac{10}{3})^2 = 100 - \frac{100}{9} = \frac{800}{9}$

したがって、直円錐の体積の最大値 $V_1$ は

$V_1 = \frac{1}{3} \pi \frac{800}{9} \cdot \frac{40}{3} = \frac{32000}{81} \pi$

球の体積 $V_2$ は

$V_2 = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4000}{3} \pi = \frac{108000}{81} \pi$

$V_1:V_2 = \frac{32000}{81} \pi : \frac{108000}{81} \pi = 32000:108000 = 32:108 = 8:27$

3. 最終的な答え

8:27