正六角形ABCDEFにおいて、線分BDを2:3に内分する点をGとする。このとき、ベクトル$\overrightarrow{GC}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す問題です。つまり、$\overrightarrow{GC} = \frac{a}{b}\overrightarrow{AB} + \frac{c}{d}\overrightarrow{AF}$ の $a, b, c, d$を求めます。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、線分BDを2:3に内分する点をGとする。このとき、ベクトル$\overrightarrow{GC}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す問題です。つまり、$\overrightarrow{GC} = \frac{a}{b}\overrightarrow{AB} + \frac{c}{d}\overrightarrow{AF}$ の $a, b, c, d$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AD}$で表します。GはBDを2:3に内分するので、

$$\overrightarrow{AG} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}}{2+3} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}}{5} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AD}$$

次に、$\overrightarrow{AD}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$で表します。正六角形において、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$であり、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AF}$かつ$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}= -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$であるため、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$となります。

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$$

これを$\overrightarrow{AG}$の式に代入すると、

$$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}) = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF}$$

したがって、$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF}$となります。

次に、$\overrightarrow{GC}$を求めます。

$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG}$です。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}$.

したがって、

$\overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) - (\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB} - \frac{4}{5}\overrightarrow{AF} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$となります。

$$\overrightarrow{GC} = 0\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$$

画像にある数値とは異なりますが、正六角形の性質を考えると、$\overrightarrow{GC} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$が正しいと判断しました。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{GC} = 0\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$