長方形ABCDにおいて、$AB=15cm$, $BC=30cm$である。点PはAからBへ毎秒1cmの速さで動き、点QはBからCへ毎秒2cmの速さで動く。PとQが同時に出発するとき、 (1) x秒後のPBの長さをxを用いて表す。 (2) $\triangle PBQ$の面積が$50cm^2$となるのは何秒後か。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB=15cm$, $BC=30cm$である。点PはAからBへ毎秒1cmの速さで動き、点QはBからCへ毎秒2cmの速さで動く。PとQが同時に出発するとき、

(1) x秒後のPBの長さをxを用いて表す。

(2) $\triangle PBQ$の面積が$50cm^2$となるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

(1)

点PはAからBへ毎秒1cmの速さで動くので、x秒後のAPの長さは$x$cmである。

$AB = 15cm$なので、$PB = AB - AP = 15 - x$。

したがって、x秒後のPBの長さは$(15-x)cm$である。

(2)

x秒後のPBの長さは$(15-x)cm$である。

点QはBからCへ毎秒2cmの速さで動くので、x秒後のBQの長さは$2x$cmである。

$\triangle PBQ$の面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$で求められる。

$\triangle PBQ$の面積が$50cm^2$となるので、

$$\frac{1}{2} \times (15-x) \times (2x) = 50$$

$$(15-x) \times x = 50$$

$$15x - x^2 = 50$$

$$x^2 - 15x + 50 = 0$$

$$(x-5)(x-10) = 0$$

$$x = 5, 10$$

点QはBからCまで動くので、$0 \le x \le \frac{30}{2} = 15$を満たす必要がある。

$x=5$と$x=10$はどちらもこの範囲を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $15-x$ cm

(2) 5秒後と10秒後