平面 $H: 2x + 3y - z = 0$ のパラメータ表示 $\mathbf{x} = s\mathbf{u} + t\mathbf{v}$ となるベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ を一組求める。

1. 問題の内容

平面 $H: 2x + 3y - z = 0$ のパラメータ表示 $\mathbf{x} = s\mathbf{u} + t\mathbf{v}$ となるベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ を一組求める。

2. 解き方の手順

平面の方程式 $2x + 3y - z = 0$ を満たすベクトルを2つ見つける。

一つ目のベクトル $\mathbf{u}$ を求めるには、$x = 1$ かつ $y = 0$ とすると、$z = 2x + 3y = 2(1) + 3(0) = 2$ となる。したがって、$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ が平面上のベクトルとなる。

二つ目のベクトル $\mathbf{v}$ を求めるには、$x = 0$ かつ $y = 1$ とすると、$z = 2x + 3y = 2(0) + 3(1) = 3$ となる。したがって、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が平面上のベクトルとなる。

$\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ は線形独立である必要がある。今回は $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ の $x$ 成分と $y$ 成分がそれぞれ $(1, 0)$ と $(0, 1)$ であり線形独立であることがわかる。

3. 最終的な答え

$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$