直線 $l$ の式は $y = x + 4$ である。点Aの座標は $(4, 8)$ である。原点Oと点Aを通る直線を引く。線分OA上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線 $l$ との交点をQとする。点Pのx座標を $t$ とする。 (1) 線分PQの長さを $t$ を使った式で表す。 (2) $\triangle AQP$ の面積が2のとき、$t$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $l$ の式は $y = x + 4$ である。点Aの座標は $(4, 8)$ である。原点Oと点Aを通る直線を引く。線分OA上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線 $l$ との交点をQとする。点Pのx座標を $t$ とする。

(1) 線分PQの長さを $t$ を使った式で表す。

(2) $\triangle AQP$ の面積が2のとき、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pは線分OA上にあるので、まず直線OAの式を求める。直線OAは原点を通るので、直線の式は $y = ax$ の形になる。点A $(4, 8)$ を通るので、$8 = 4a$ より $a = 2$ となる。したがって、直線OAの式は $y = 2x$ である。

点Pのx座標は $t$ なので、点Pのy座標は $2t$ である。

よって点Pの座標は $(t, 2t)$ となる。

点Qは直線 $l$ 上にあるので、点Qのx座標は $t$ であるから、点Qのy座標は $t+4$ である。

よって点Qの座標は $(t, t+4)$ となる。

したがって、線分PQの長さは $PQ = (t+4) - 2t = 4-t$ となる。

(2) $\triangle AQP$ の面積を求める。点A $(4, 8)$、点Q $(t, t+4)$、点P $(t, 2t)$ である。

$\triangle AQP$ の面積は、底辺をPQと考えると、高さはAのx座標からPのx座標を引いたものであるから $4-t$ となる。

よって $\triangle AQP$ の面積は $\frac{1}{2} \times PQ \times (4-t) = \frac{1}{2} \times (4-t) \times (4-t)$ となる。

$\triangle AQP$ の面積が2なので、$\frac{1}{2} (4-t)^2 = 2$ を解く。

$(4-t)^2 = 4$

$4-t = \pm 2$

$t = 4 \mp 2$

$t = 2, 6$

$t=6$ のとき、Pの座標は$(6, 12)$となるが、これはAよりも上の点となるため、不適。

したがって、$t = 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) 線分PQの長さ: $4-t$

(2) $t$ の値: $2$