長方形ABCDにおいて、AB=6cm、BC=12cmである。点Pは毎秒1cmでAからBへ、点Qは毎秒2cmでDからAへ移動する。P, Qが同時に出発するとき、以下の問いに答える。 (1) $x$秒後のQAの長さを、$x$を用いて表す。 (2) $\triangle APQ$の面積が8cm$^2$になるのは何秒後か。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=6cm、BC=12cmである。点Pは毎秒1cmでAからBへ、点Qは毎秒2cmでDからAへ移動する。P, Qが同時に出発するとき、以下の問いに答える。

(1) $x$秒後のQAの長さを、$x$を用いて表す。

(2) $\triangle APQ$の面積が8cm$^2$になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

(1) $x$秒後のQAの長さを考える。点QはDからAへ毎秒2cmで移動する。したがって、$x$秒後のDAからQまでの距離は$2x$ cmとなる。DAの長さはBCの長さと同じなので、12cmである。よって、$x$秒後のQAの長さは$12 - 2x$ cmとなる。

(2) $\triangle APQ$の面積が8cm$^2$になるのは何秒後かを考える。

$x$秒後のAPの長さは$x$ cmである。$x$秒後のQAの長さは$12 - 2x$ cmである。$\triangle APQ$の面積は、

$\frac{1}{2} \times AP \times QA = \frac{1}{2} \times x \times (12 - 2x) = 6x - x^2$

これが8cm$^2$になる時を求める。

$6x - x^2 = 8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x - 2)(x - 4) = 0$

$x = 2, 4$

点PはAからBまで、点QはDからAまで移動するので、移動時間は制限される。

点PがBに到着する時間は$\frac{6}{1} = 6$秒後である。

点QがAに到着する時間は$\frac{12}{2} = 6$秒後である。

したがって、$x$は$0 \le x \le 6$を満たす必要がある。

$x=2$と$x=4$は両方ともこの条件を満たしている。

3. 最終的な答え

(1) $12 - 2x$ cm

(2) 2秒後、4秒後