直角二等辺三角形ABCにおいて、点Pは辺AB上を毎秒1cmでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒1cmでCからBへ移動します。P,Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{9}$になるのは何秒後か求める問題です。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCにおいて、点Pは辺AB上を毎秒1cmでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒1cmでCからBへ移動します。P,Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{9}$になるのは何秒後か求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積を求めます。AB = BC = 6cmなので、三角形ABCの面積は

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \text{ cm}^2$

次に、t秒後のPBの長さとBQの長さを求めます。点PはAからBへ、点QはCからBへそれぞれ毎秒1cmで移動するので、t秒後のAPの長さはt cm、CQの長さはt cmです。したがって、PBの長さは(6 - t) cm、BQの長さは(6 - t) cmとなります。

三角形PBQの面積は、

$S_{PBQ} = \frac{1}{2} \times (6 - t) \times (6 - t) = \frac{1}{2} (6 - t)^2 \text{ cm}^2$

問題文より、$S_{PBQ} = \frac{1}{9} S_{ABC}$なので、

$\frac{1}{2} (6 - t)^2 = \frac{1}{9} \times 18$

$\frac{1}{2} (6 - t)^2 = 2$

$(6 - t)^2 = 4$

$6 - t = \pm 2$

$t = 6 \mp 2$

$t = 4, 8$

ただし、P, QがBに到達するまでにP, Qは移動を停止します。P, QがBに到達するのは6秒後なので、$t < 6$です。したがって、$t=8$は不適となります。

3. 最終的な答え

4秒後