正六角形 ABCDEF があり、線分 BD を 2:3 に内分する点を G とするとき、ベクトル $\overrightarrow{GC}$ をベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{AF}$ を用いて表す問題です。具体的には、$\overrightarrow{GC} = \frac{22}{23} \overrightarrow{AB} + \frac{24}{25} \overrightarrow{AF}$ の式の空欄にあてはまる数を求める問題です。

1. 問題の内容

正六角形 ABCDEF があり、線分 BD を 2:3 に内分する点を G とするとき、ベクトル $\overrightarrow{GC}$ をベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{AF}$ を用いて表す問題です。具体的には、$\overrightarrow{GC} = \frac{22}{23} \overrightarrow{AB} + \frac{24}{25} \overrightarrow{AF}$ の式の空欄にあてはまる数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AG}$ を求めます。点 G は線分 BD を 2:3 に内分するので、

$$\overrightarrow{AG} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}}{5}$$

ここで、正六角形 ABCDEF において、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ であり、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AF}$ かつ $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}$ であるので、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}) = 2\overrightarrow{AF}$となります。

したがって、

$$\overrightarrow{AG} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2(2\overrightarrow{AF})}{5} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF}$$

次に、$\overrightarrow{GC}$ を求めます。$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG}$ です。ここで、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}$ ですから、

$$\overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) - (\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF}) = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$$

よって、$\overrightarrow{GC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$ となります。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{GC} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AF}$

したがって、問題文中の空欄は順に、

$\frac{2}{5}$ および $\frac{1}{5}$ です。

最初の問題文の空欄を埋める場合：

$\overrightarrow{GC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$