直角二等辺三角形ABCにおいて、点Pは辺AB上を毎秒2cmの速さでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒2cmの速さでCからBへ移動します。PとQが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/9になるのは何秒後かを求める問題です。三角形ABCの辺ABとBCの長さは18cmです。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCにおいて、点Pは辺AB上を毎秒2cmの速さでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒2cmの速さでCからBへ移動します。PとQが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/9になるのは何秒後かを求める問題です。三角形ABCの辺ABとBCの長さは18cmです。

2. 解き方の手順

出発してから$x$秒後のことを考えます。

* APの長さは$2x$ cmなので、PBの長さは$(18-2x)$ cmです。

* CQの長さは$2x$ cmなので、QBの長さは$(18-2x)$ cmです。

三角形ABCの面積は、底辺をBC、高さをABとすると、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 18 \times 18 = 162$ (cm$^2$)

三角形PBQの面積は、

$S_{PBQ} = \frac{1}{2} \times (18-2x) \times (18-2x) = \frac{1}{2}(18-2x)^2 = 2(9-x)^2 = 2(81-18x+x^2)=2x^2-36x+162$ (cm$^2$)

問題文より、$S_{PBQ} = \frac{1}{9}S_{ABC}$なので、

$2x^2-36x+162 = \frac{1}{9} \times 162 = 18$

$2x^2-36x+162 - 18 = 0$

$2x^2-36x+144 = 0$

$x^2-18x+72 = 0$

$(x-6)(x-12)=0$

よって、$x = 6$ または $x=12$

ただし、$x$は0から9の間の値しかとらない（点PとQはBに着いたら止まるので）ので、$x=6$だけが答えとして適切です。

3. 最終的な答え

6秒後