硬貨を2回投げ、表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。このときの点数を$X$とする。また、同時にサイコロを投げ、出た目を$Y$とする。このとき、$X+2Y$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げ、表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。このときの点数を$X$とする。また、同時にサイコロを投げ、出た目を$Y$とする。このとき、$X+2Y$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$の期待値$E(X)$を求める。硬貨を2回投げたときの点数$X$は、以下の値を取りうる。

- 2回とも表が出た場合: $X=2$

- 1回表、1回裏が出た場合: $X=0$

- 2回とも裏が出た場合: $X=-2$

それぞれの確率は以下のようになる。

- $P(X=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

- $P(X=0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

- $P(X=-2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

したがって、$X$の期待値は、

$E(X) = 2 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + (-2) \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} = 0$

次に、$Y$の期待値$E(Y)$を求める。サイコロの目は1から6までの整数であり、それぞれの確率は$\frac{1}{6}$である。

$E(Y) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

最後に、$X+2Y$の期待値を求める。期待値の線形性より、

$E(X+2Y) = E(X) + 2E(Y) = 0 + 2 \times \frac{7}{2} = 7$

3. 最終的な答え

7