袋の中に白玉が5個、赤玉が4個入っている。P, Qの順に1個ずつ玉を取り出す。 (1) Pが取り出した玉を袋に戻してからQが取り出す時、2人とも赤玉を取り出す確率を求める。 (2) Pが取り出した玉を袋に戻さずにQが取り出す時、2人の取り出した玉の色が異なる確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が5個、赤玉が4個入っている。P, Qの順に1個ずつ玉を取り出す。

(1) Pが取り出した玉を袋に戻してからQが取り出す時、2人とも赤玉を取り出す確率を求める。

(2) Pが取り出した玉を袋に戻さずにQが取り出す時、2人の取り出した玉の色が異なる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

Pが赤玉を取り出す確率は、$\frac{4}{9}$。

Pが取り出した玉を袋に戻すので、Qが赤玉を取り出す確率も$\frac{4}{9}$。

したがって、2人とも赤玉を取り出す確率は、

$\frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81}$

(2)

2人の取り出した玉の色が異なる確率は、Pが白玉を取り出してQが赤玉を取り出す確率と、Pが赤玉を取り出してQが白玉を取り出す確率の和である。

Pが白玉を取り出す確率は$\frac{5}{9}$。このとき、袋の中には白玉が4個、赤玉が4個残っているので、Qが赤玉を取り出す確率は$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。したがって、Pが白玉を取り出してQが赤玉を取り出す確率は

$\frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{18}$。

Pが赤玉を取り出す確率は$\frac{4}{9}$。このとき、袋の中には白玉が5個、赤玉が3個残っているので、Qが白玉を取り出す確率は$\frac{5}{8}$。したがって、Pが赤玉を取り出してQが白玉を取り出す確率は

$\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{18}$。

よって、2人の取り出した玉の色が異なる確率は

$\frac{5}{18} + \frac{5}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{16}{81}$

(2) $\frac{5}{9}$