与えられた積分 $\int \sin^3{\theta} \cos^2{\theta} d\theta$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sin^3{\theta} \cos^2{\theta} d\theta$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^3{\theta}$ を $\sin^2{\theta} \cdot \sin{\theta}$ に分解し、$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}$ を用いて式を変換します。

$\int \sin^3{\theta} \cos^2{\theta} d\theta = \int \sin^2{\theta} \sin{\theta} \cos^2{\theta} d\theta = \int (1 - \cos^2{\theta}) \cos^2{\theta} \sin{\theta} d\theta$

ここで、$u = \cos{\theta}$ と置換すると、$du = -\sin{\theta} d\theta$ となります。したがって、$\sin{\theta} d\theta = -du$ となります。

積分は次のようになります。

$\int (1 - u^2) u^2 (-du) = - \int (u^2 - u^4) du = \int (u^4 - u^2) du$

次に、積分を実行します。

$\int (u^4 - u^2) du = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + C$

最後に、$u = \cos{\theta}$ を代入して、元の変数に戻します。

$\frac{\cos^5{\theta}}{5} - \frac{\cos^3{\theta}}{3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\cos^5{\theta}}{5} - \frac{\cos^3{\theta}}{3} + C$