次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{2} \log(\frac{x+1}{2x}) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \log(\frac{x+1}{2x}) dx$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って積分を分解します。

$\int_{1}^{2} \log(\frac{x+1}{2x}) dx = \int_{1}^{2} [\log(x+1) - \log(2x)] dx = \int_{1}^{2} \log(x+1) dx - \int_{1}^{2} \log(2x) dx$

ここで、$\int_{1}^{2} \log(2x) dx = \int_{1}^{2} [\log 2 + \log x] dx = \int_{1}^{2} \log 2 dx + \int_{1}^{2} \log x dx$

よって、

$\int_{1}^{2} \log(\frac{x+1}{2x}) dx = \int_{1}^{2} \log(x+1) dx - \int_{1}^{2} \log 2 dx - \int_{1}^{2} \log x dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \log(x+1) dx$：

部分積分を用いて計算します。$u = \log(x+1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+1} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(x+1) dx = x\log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x\log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x\log(x+1) - x + \log(x+1) = (x+1)\log(x+1) - x$

したがって、

$\int_{1}^{2} \log(x+1) dx = [(x+1)\log(x+1) - x]_{1}^{2} = [3\log 3 - 2] - [2\log 2 - 1] = 3\log 3 - 2\log 2 - 1$

$\int_{1}^{2} \log x dx$：

部分積分を用いて計算します。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x dx = x\log x - \int x\frac{1}{x} dx = x\log x - \int 1 dx = x\log x - x$

したがって、

$\int_{1}^{2} \log x dx = [x\log x - x]_{1}^{2} = [2\log 2 - 2] - [\log 1 - 1] = 2\log 2 - 2 - 0 + 1 = 2\log 2 - 1$

$\int_{1}^{2} \log 2 dx = [\log 2 \cdot x]_{1}^{2} = 2\log 2 - \log 2 = \log 2$

よって、

$\int_{1}^{2} \log(\frac{x+1}{2x}) dx = (3\log 3 - 2\log 2 - 1) - \log 2 - (2\log 2 - 1) = 3\log 3 - 5\log 2$

3. 最終的な答え

$3\log 3 - 5\log 2$