与えられた積分 $\int \sqrt{x} \log \sqrt{x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{x} \log \sqrt{x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}=t$ と置換します。すると、$x = t^2$ となり、$dx = 2t \, dt$ となります。

積分は次のようになります。

$$\int \sqrt{x} \log \sqrt{x} \, dx = \int t \log t (2t \, dt) = 2 \int t^2 \log t \, dt$$

次に、部分積分を使って $\int t^2 \log t \, dt$ を計算します。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \log t$ と $dv = t^2 \, dt$ とすると、$du = \frac{1}{t} \, dt$ と $v = \frac{t^3}{3}$ となります。

したがって、

$$\int t^2 \log t \, dt = \frac{t^3}{3} \log t - \int \frac{t^3}{3} \cdot \frac{1}{t} \, dt = \frac{t^3}{3} \log t - \frac{1}{3} \int t^2 \, dt$$

$$= \frac{t^3}{3} \log t - \frac{1}{3} \cdot \frac{t^3}{3} + C = \frac{t^3}{3} \log t - \frac{t^3}{9} + C$$

元の積分は、

$$2 \int t^2 \log t \, dt = 2 \left( \frac{t^3}{3} \log t - \frac{t^3}{9} \right) + C = \frac{2}{3} t^3 \log t - \frac{2}{9} t^3 + C$$

ここで、$t = \sqrt{x}$ を代入すると、

$$\frac{2}{3} (\sqrt{x})^3 \log \sqrt{x} - \frac{2}{9} (\sqrt{x})^3 + C = \frac{2}{3} x^{3/2} \log x^{1/2} - \frac{2}{9} x^{3/2} + C$$

$$= \frac{2}{3} x^{3/2} \cdot \frac{1}{2} \log x - \frac{2}{9} x^{3/2} + C = \frac{1}{3} x^{3/2} \log x - \frac{2}{9} x^{3/2} + C$$

$$= \frac{1}{9} x^{3/2} (3 \log x - 2) + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{9} x^{3/2} (3 \log x - 2) + C$