画像に掲載されている数学の問題は、次の４つの大問から構成されています。 * 大問1：りんごの分配と方程式の解の個数を求める問題 * 大問2：最短経路の数を求める問題 * 大問3：生徒の組分けの場合の数を求める問題 * 大問4：文字列の並べ替えに関する問題

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題は、次の４つの大問から構成されています。

* 大問1：りんごの分配と方程式の解の個数を求める問題

* 大問2：最短経路の数を求める問題

* 大問3：生徒の組分けの場合の数を求める問題

* 大問4：文字列の並べ替えに関する問題

2. 解き方の手順

各問題に対する解き方を説明します。

* **(1) りんごの分配:**

8個のりんごを3人に配る。もらわない人がいてもよいので、これは重複組み合わせの問題です。

3人の区別をA, B, Cとすると、$x + y + z = 8$ (x,y,zは0以上の整数)を満たす解の個数を求めます。

これは、8個の〇と2本の仕切りの並べ方を考える問題と同じです。

したがって、${}_{8+3-1}C_{3-1} = {}_{10}C_2$を計算します。

* **(2) 方程式の解の個数:**

$x + y + z = 9$を満たす自然数の組$(x, y, z)$の個数を求めます。

$x, y, z$は自然数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$です。

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$とすると、$x', y', z' \ge 0$であり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9$となるので、$x' + y' + z' = 6$となります。

これは、6個の〇と2本の仕切りの並べ方を考える問題と同じです。

したがって、${}_{6+3-1}C_{3-1} = {}_{8}C_2$を計算します。

* **(3) 最短経路の数:**

PからQへの最短経路は、右に5回、下に3回移動する必要があります。

これは、合計8回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ場合の数と同じです。

したがって、${}_8C_5 = \frac{8!}{5!3!}$を計算します。

* **(4) RS間を通る最短経路の数:**

PからRへの最短経路、RからSへの最短経路、SからQへの最短経路をそれぞれ計算します。

PからRへは、右に2回、下に1回移動するので、${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!}=3$通り。

RからSへは、1通り。

SからQへは、右に3回、下に2回移動するので、${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!}=10$通り。

したがって、RS間を通る最短経路は$3 * 1 * 10=30$通り。

* **(5) 生徒の組分け (A, B, C):**

9人の生徒を3人ずつ3組に分ける。組に区別がある場合。

${}_9C_3 * {}_6C_3 * {}_3C_3 = \frac{9!}{3!6!} * \frac{6!}{3!3!} * \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{(3!)^3}$を計算します。

* **(6) 生徒の組分け (区別なし):**

9人の生徒を3人ずつ3組に分ける。組に区別がない場合。

(5)の結果を組の並び順(3!)で割ります。

$\frac{9!}{(3!)^3 * 3!}$

* **(7) 生徒の組分け (2組):**

9人の生徒を2組に分ける。組に区別がある場合。ただし、各組少なくとも１人必要です。

これは、9人の中からAに入れる人数を選ぶのと同じ。Aに１人入れる場合から８人入れる場合まで考えれば良い。

従って、${}_9C_1 + {}_9C_2 + ... + {}_9C_8 = 2^9 - 2 = 510$通り。

* **(8) 文字列の並べ替え:**

sleeperの7文字を並べ替える。同じ文字(e)が3つあるので、$\frac{7!}{3!}$を計算します。

* **(9) 両端にeがない文字列:**

sleeperの7文字を並べ替え、両端にeがないようにする。

両端にeがない場合を考えるので、両端にe以外の文字(s, l, p, r)から2つ選び並べる。

選んだ文字以外には、e, e, eと残り2文字がある。

両端の並べ方は4P2 = 4 * 3 = 12通り。

残りの５文字(e, e, e, x, y)の並べ替えは、5!/3!通り。x,yは両端以外で使用された文字。

よって、両端にeがない並べ方は、12 * (5!/3!) = 12 * 20 = 240通り。

3. 最終的な答え

* (1) 66通り

* (2) 28通り

* (3) 56通り

* (4) 30通り

* (5) 1680通り

* (6) 280通り

* (7) 510通り

* (8) 840通り

* (9) 240通り