(1) 高さ19.6mから質量1.0kgの物体を自由落下させたときの、地面に衝突する直前の速度を求める。 (2) 水平と30°の角度をなす斜面上を質量1.5kgの物体が10m滑り落ちたときの速度を求める。 (3) ばね定数25N/mのばねの一端に質量1.0kgの物体をつけ、ばねを0.50m伸ばした状態から静かに手を離したとき、ばねの縮みが0.30mになったときの物体の速度を求める。

1. 問題の内容

(1) 高さ19.6mから質量1.0kgの物体を自由落下させたときの、地面に衝突する直前の速度を求める。

(2) 水平と30°の角度をなす斜面上を質量1.5kgの物体が10m滑り落ちたときの速度を求める。

(3) ばね定数25N/mのばねの一端に質量1.0kgの物体をつけ、ばねを0.50m伸ばした状態から静かに手を離したとき、ばねの縮みが0.30mになったときの物体の速度を求める。

2. 解き方の手順

(1) エネルギー保存の法則を用いる。

位置エネルギー $U = mgh$ が運動エネルギー $K = \frac{1}{2}mv^2$ に変換される。

したがって、$mgh = \frac{1}{2}mv^2$。

$v = \sqrt{2gh}$

$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 19.6} = \sqrt{384.16} = 19.6$ m/s。有効数字2桁で19m/s。

(2) エネルギー保存の法則を用いる。

位置エネルギーの変化は $mgh = mgd\sin\theta$ であり、$d$は斜面を滑る距離、$\theta$は斜面の角度である。運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2$。

$mgd\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{2gd\sin\theta}$

$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10 \times \sin 30^\circ} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{98} = 9.899 \dots \approx 9.9$ m/s。有効数字2桁で9.9m/s。

(3) エネルギー保存の法則を用いる。

ばねの弾性エネルギー $U = \frac{1}{2}kx^2$、運動エネルギー $K = \frac{1}{2}mv^2$

初期状態では、ばねが0.50m伸びているので、$x_1 = 0.50$ m。

最終状態では、ばねが0.30m縮んでいるので、$x_2 = 0.30$ m。

$\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}mv^2$

$k(x_1^2 - x_2^2) = mv^2$

$v = \sqrt{\frac{k}{m}(x_1^2 - x_2^2)}$

$v = \sqrt{\frac{25}{1.0}(0.50^2 - 0.30^2)} = \sqrt{25(0.25 - 0.09)} = \sqrt{25(0.16)} = \sqrt{4} = 2.0$ m/s

3. 最終的な答え

(1) 19 m/s

(2) 9.9 m/s

(3) 2.0 m/s