数直線上を動く点Pが原点にある。サイコロを投げて4以下の目が出たらPは正の向きに1進み、それ以外の目が出たらPは負の向きに1進む。サイコロを5回投げたとき、点Pの座標が3になる確率を求める。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pが原点にある。サイコロを投げて4以下の目が出たらPは正の向きに1進み、それ以外の目が出たらPは負の向きに1進む。サイコロを5回投げたとき、点Pの座標が3になる確率を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標が3になるためには、正の向きに4回、負の向きに1回進む必要がある。

5回のうち正の向きに進む回数を$x$、負の向きに進む回数を$y$とすると、以下の式が成り立つ。

$x + y = 5$

$x - y = 3$

この連立方程式を解くと、$x=4$、$y=1$となる。

つまり、5回のうち4回は4以下の目が出て、1回は5以上の目が出ればよい。

4以下の目が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、5以上の目が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

5回のうち4回が$\frac{2}{3}$の確率で、1回が$\frac{1}{3}$の確率で起こる組み合わせの数は、二項定理より${}_5C_4 = {}_5C_1 = 5$通りである。

したがって、求める確率は

$5 \times (\frac{2}{3})^4 \times (\frac{1}{3})^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$となる。

3. 最終的な答え

$\frac{80}{243}$