与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下です。 $\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k - 4\pi \cdot \frac{k}{4(\pi+6)}}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下です。

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k - 4\pi \cdot \frac{k}{4(\pi+6)}}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、左側の項を計算します。

$\left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 = \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

したがって、左側の項は、

$\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

次に、右側の項を計算します。

$\frac{k - 4\pi \cdot \frac{k}{4(\pi+6)}}{6} = \frac{k - \pi \cdot \frac{k}{\pi+6}}{6} = \frac{k(\pi+6) - \pi k}{6(\pi+6)} = \frac{k\pi + 6k - \pi k}{6(\pi+6)} = \frac{6k}{6(\pi+6)} = \frac{k}{\pi+6}$

したがって、右側の項は、

$\left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

最後に、左側の項と右側の項を足し合わせます。

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{\pi}{6} + 1 \right) \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{\pi+6}{6} \right) \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{(\pi+6)}{6} \frac{k^{\frac{3}{2}}}{(\pi+6)^{\frac{3}{2}}} = \frac{k^{\frac{3}{2}}}{6(\pi+6)^{\frac{1}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{k^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{\pi+6}}$