原点からの距離 $r$ の関数として与えられた位置エネルギー $U(r)$ を持つロケットの運動について、以下の問いに答えます。 (a) ロケットに作用する保存力 $f(r)$ を求めます。 (b) ロケットが静止できない条件を満たす $b$ の上限値 $b_m$ を求めます。 (c) $b < b_m$ のとき、ロケットが安定に静止できる位置 $r_0$ を求め、その安定性について議論します。 ここで、位置エネルギーは以下のように与えられています。 $U(r) = -k \left( \frac{a^3}{r^3} - \frac{a^2}{r^2} + \frac{b}{r} \right)$

1. 問題の内容

原点からの距離 $r$ の関数として与えられた位置エネルギー $U(r)$ を持つロケットの運動について、以下の問いに答えます。

(a) ロケットに作用する保存力 $f(r)$ を求めます。

(b) ロケットが静止できない条件を満たす $b$ の上限値 $b_m$ を求めます。

(c) $b < b_m$ のとき、ロケットが安定に静止できる位置 $r_0$ を求め、その安定性について議論します。

ここで、位置エネルギーは以下のように与えられています。

$U(r) = -k \left( \frac{a^3}{r^3} - \frac{a^2}{r^2} + \frac{b}{r} \right)$

2. 解き方の手順

(a) 保存力 $f(r)$ は、位置エネルギー $U(r)$ の負の勾配で与えられます。つまり、$f(r) = -\frac{dU(r)}{dr}$ です。

$U(r)$ を $r$ で微分します。

$\frac{dU(r)}{dr} = -k \left( -\frac{3a^3}{r^4} + \frac{2a^2}{r^3} - \frac{b}{r^2} \right) = k \left( \frac{3a^3}{r^4} - \frac{2a^2}{r^3} + \frac{b}{r^2} \right)$

したがって、保存力は、

$f(r) = -k \left( \frac{3a^3}{r^4} - \frac{2a^2}{r^3} + \frac{b}{r^2} \right)$

(b) ロケットが静止するためには、$f(r) = 0$ となる $r > 0$ が存在する必要があります。$f(r) = 0$ となる $r$ を求めるために、$f(r)$ の式を整理します。

$\frac{3a^3}{r^4} - \frac{2a^2}{r^3} + \frac{b}{r^2} = 0$

両辺に $r^4$ を掛けて、$3a^3 - 2a^2 r + br^2 = 0$ となります。これを $r$ について解くと、

$r = \frac{2a^2 \pm \sqrt{4a^4 - 4b(3a^3)}}{2b} = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 - 3a^3 b}}{b}$

ロケットが静止できないためには、$r$ が実数解を持たない必要があります。つまり、$a^4 - 3a^3 b < 0$ となる必要があります。

$a^4 - 3a^3 b < 0 \implies a^4 < 3a^3 b \implies a < 3b \implies b > \frac{a}{3}$

したがって、$b_m = \frac{a}{3}$ です。

(c) $b < b_m = \frac{a}{3}$ のとき、ロケットは安定な位置 $r_0$ で静止できます。安定な位置 $r_0$ は、$f(r) = 0$ となる $r$ であり、$U(r)$ が極小となる点です。つまり、$f(r) = 0$ となる $r$ を $r_0$ とおくと、$f'(r_0) > 0$ となる必要があります。$r$ の解は2つ存在します。

$r_0 = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 - 3a^3 b}}{b} = \frac{a^2 \pm a^{3/2}\sqrt{a - 3 b}}{b}$

安定性について議論します。$f(r) = - \frac{dU(r)}{dr}$なので、$f'(r) = -\frac{d^2 U(r)}{dr^2}$です。安定条件は$U''(r_0)>0$を満たす必要があります。

$f'(r) = -k (\frac{-12a^3}{r^5} + \frac{6a^2}{r^4} - \frac{2b}{r^3})$

$= k(\frac{12a^3}{r^5} - \frac{6a^2}{r^4} + \frac{2b}{r^3})$

$f'(r_0) > 0 \iff 6a^3 - 3a^2r_0 + br_0^2 > 0$.

$br_0^2 = 2a^2r_0 - 3a^3$を代入すると、

$6a^3 - 3a^2 r_0 + 2a^2r_0 - 3a^3 > 0$

$3a^3 > a^2r_0$

$r_0 < 3a$.

ここで、$r_0 = \frac{a^2 - a^{3/2}\sqrt{a - 3 b}}{b} < 3a$. (マイナスの符号を選択)

3. 最終的な答え

(a) $f(r) = -k \left( \frac{3a^3}{r^4} - \frac{2a^2}{r^3} + \frac{b}{r^2} \right)$

(b) $b_m = \frac{a}{3}$

(c) $r_0 = \frac{a^2 \pm a^{3/2}\sqrt{a - 3 b}}{b}$. $r_0 < 3a$ で安定。