長さ1.2m、直径80mmの鋳鉄製円柱の座屈荷重と座屈応力を求める問題です。

1. 問題の内容

長さ1.2m、直径80mmの鋳鉄製円柱の座屈荷重と座屈応力を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、断面二次モーメント $I_0$ を計算します。直径 $d = 80 \text{ mm} = 8 \text{ cm}$ を用いて、

$I_0 = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi \times (80)^4}{64} = \frac{\pi \times (8 \times 10)^4}{64} = 2010619.298 \text{ mm}^4$

したがって、(2) = 80, (3) = 2010619.298

次に、断面積 $A$ を計算します。

$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times (80)^2}{4} = \pi \times (40)^2 = 5026.548 \text{ mm}^2$

したがって、(4) = 40, (5) = 5026.548, (6) = 5026.548

断面二次半径 $k_0$ を計算します。

$k_0 = \sqrt{\frac{I_0}{A}} = \sqrt{\frac{2010619.298}{5026.548}} = \sqrt{400} = 20 \text{ mm}$

したがって、(7) = 2010619.298, (8) = 5026.548, (9) = 20

細長比 $\frac{l}{k_0}$ を計算します。ここで $l = 1.2 \text{ m} = 1200 \text{ mm}$ です。

$\frac{l}{k_0} = \frac{1200}{20} = 60$

したがって、(10) = 1200, (11) = 20, (12) = 60

両端回転端の端末条件係数 $n$ は 1 なので (13) = 1。鋳鉄製柱の細長比の限界は 100 です。

したがって、(14) = 60, (15) = 100 となるので、ランキンの式を用いる。

$\sigma_c = 600 \text{ MPa}$, $a = \frac{1}{1600}$ なので、

座屈荷重 $W$ を計算します（ランキンの式）。

$W = \frac{\sigma_c A}{1 + \frac{a}{n} (\frac{l}{k_0})^2} = \frac{600 \times 5026.548}{1 + \frac{1/1600}{1} \times (60)^2} = \frac{600 \times 5026.548}{1 + \frac{3600}{1600}} = \frac{3015928.8}{1 + 2.25} = \frac{3015928.8}{3.25} = 927978.09 \text{ N} = 927.978 \text{ kN}$

したがって、(16) = 600, (17) = 5026.548, (18) = 1, (19) = 1/1600, (20) = 1, (21) = 60, (22) = 927978.09, (23) = 927.978

座屈応力 $\sigma$ を計算します。

$\sigma = \frac{W}{A} = \frac{927978.09}{5026.548} = 184.61 \text{ MPa}$

したがって、(24) = 927978.09, (25) = 5026.548, (26) = 184.61, (27) = 184.61

3. 最終的な答え

座屈荷重: 927.978 kN

座屈応力: 184.61 MPa