硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出る相対度数を $R$ とする。$n=100$ の場合に、$P(|R-\frac{1}{2}| \leq 0.05)$ の値を、巻末の正規分布表を用いて求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出る相対度数を $R$ とする。$n=100$ の場合に、$P(|R-\frac{1}{2}| \leq 0.05)$ の値を、巻末の正規分布表を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

$X$ を表の出る回数とすると、$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。ここで、$n=100$, $p=\frac{1}{2}$ である。

$R = \frac{X}{n}$ であり、$E(R) = p = \frac{1}{2}$、 $V(R) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{100} = \frac{1}{400}$ である。

標準偏差 $\sigma = \sqrt{V(R)} = \sqrt{\frac{1}{400}} = \frac{1}{20} = 0.05$ である。

$n$ が大きいので、$R$ は近似的に正規分布 $N(\frac{1}{2}, \frac{1}{400})$ に従う。

$Z = \frac{R - E(R)}{\sigma} = \frac{R - \frac{1}{2}}{0.05}$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に近似的に従う。

$P(|R - \frac{1}{2}| \leq 0.05) = P(-0.05 \leq R - \frac{1}{2} \leq 0.05)$

$= P(\frac{-0.05}{0.05} \leq \frac{R - \frac{1}{2}}{0.05} \leq \frac{0.05}{0.05})$

$= P(-1 \leq Z \leq 1)$

$= P(Z \leq 1) - P(Z \leq -1)$

$= P(Z \leq 1) - P(Z \geq 1)$

$= P(Z \leq 1) - (1 - P(Z \leq 1))$

$= 2P(Z \leq 1) - 1$

標準正規分布表より、$P(Z \leq 1) = 0.8413$

$2 \times 0.8413 - 1 = 1.6826 - 1 = 0.6826$

3. 最終的な答え

0. 6826