10本のくじの中に当たりくじが2本含まれている。このくじから同時に5本引いたとき、当たりくじの本数を $X$ とする。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および $X$ の分散 $V(X)$ を求める。$E(X^2) = \frac{a}{9}$, $V(X) = \frac{b}{9}$ となる $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが2本含まれている。このくじから同時に5本引いたとき、当たりくじの本数を $X$ とする。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および $X$ の分散 $V(X)$ を求める。$E(X^2) = \frac{a}{9}$, $V(X) = \frac{b}{9}$ となる $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$X$ は超幾何分布に従う。

母集団のサイズ $N = 10$、当たりくじの数 $K = 2$、試行回数 $n = 5$ である。

(1) 期待値 $E(X)$ を求める。超幾何分布の期待値は $E(X) = n \frac{K}{N}$ で与えられる。

$E(X) = 5 \times \frac{2}{10} = 5 \times \frac{1}{5} = 1$

(2) $X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を求める。超幾何分布の分散は $V(X) = n \frac{K}{N} (1-\frac{K}{N}) \frac{N-n}{N-1}$ で与えられる。

$V(X) = n \frac{K}{N} (1-\frac{K}{N}) \frac{N-n}{N-1} = 5 \cdot \frac{2}{10} \cdot (1-\frac{2}{10}) \cdot \frac{10-5}{10-1} = 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{10} \cdot \frac{5}{9} = 1 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ より、$E(X^2) = V(X) + (E(X))^2 = \frac{4}{9} + 1^2 = \frac{4}{9} + 1 = \frac{4}{9} + \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

$E(X^2) = \frac{13}{9} = \frac{a}{9}$ より、$a = 13$

(3) 分散 $V(X)$ を求める。

$V(X) = \frac{4}{9} = \frac{b}{9}$ より、$b = 4$

3. 最終的な答え

$E(X) = 1$

$E(X^2) = \frac{13}{9}, a = 13$

$V(X) = \frac{4}{9}, b = 4$