大小中3つのサイコロを投げた時、出た目の数の合計が7になる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを投げた時、出た目の数の合計が7になる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

大小中のサイコロの目をそれぞれ$x$, $y$, $z$とします。$x, y, z$はそれぞれ1から6までの整数です。

問題は、以下の式を満たす整数の組$(x, y, z)$の数を求める問題と言い換えられます。

$x + y + z = 7$

$1 \le x \le 6$

$1 \le y \le 6$

$1 \le z \le 6$

まず、$x, y, z \ge 1$という条件を考慮して、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$とおくと、$x', y', z' \ge 0$となります。

このとき、$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 7$なので、

$x' + y' + z' = 4$

となります。この式を満たす非負整数の組$(x', y', z')$の数を求めます。これは、4個の同じものを3つの異なる箱に入れる場合の数と考えることができます。

これは、4つの〇と2つの仕切り|を使って表現でき、$_{4+2}C_2 = _6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

しかし、$x, y, z \le 6$という条件があるので、$x', y', z' \le 5$となります。

上で求めた15通りのうち、$x', y', z'$のいずれかが5以上になるものを除外する必要があります。

$x' \ge 5$の場合、$x' = 5 + a$ （$a \ge 0$）とおくと、$5 + a + y' + z' = 4$より、$a + y' + z' = -1$。これは$a, y', z' \ge 0$を満たさないので、不適です。同様に、$y' \ge 5$、$z' \ge 5$となる場合もありません。

したがって、条件を満たさないものを除外する必要はありません。

よって、目の和が7になる場合は15通りです。

3. 最終的な答え

15通り