AとBの2人がサイコロを投げ合うゲームについて、Aが勝つ確率を求める問題です。具体的には、サイコロの目が1,2,3なら同じ人が投げ、4,5なら交代し、6が出たら投げた人が勝ちとなります。$n$回目にAがサイコロを投げる確率を$a_n$、Bが投げる確率を$b_n$として、種々の確率や数列に関する値を計算します。

1. 問題の内容

AとBの2人がサイコロを投げ合うゲームについて、Aが勝つ確率を求める問題です。具体的には、サイコロの目が1,2,3なら同じ人が投げ、4,5なら交代し、6が出たら投げた人が勝ちとなります。$n$回目にAがサイコロを投げる確率を$a_n$、Bが投げる確率を$b_n$として、種々の確率や数列に関する値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$a_1, b_1, a_2, b_2$を求めます。

- $a_1$: 1回目にAが投げる確率は1なので、$a_1 = 1$ (ア)。

- $b_1$: 1回目にBが投げる確率は0なので、$b_1 = 0$ (イ)。

- $a_2$: Aが2回目に投げるのは、1回目にAが1,2,3の目を出すか、Bが4,5の目を出す場合なので、$a_2 = \frac{3}{6} \cdot a_1 + \frac{2}{6} \cdot b_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{2}$ (ウ)。

- $b_2$: Bが2回目に投げるのは、1回目にAが4,5の目を出すか、Bが1,2,3の目を出す場合なので、$b_2 = \frac{2}{6} \cdot a_1 + \frac{3}{6} \cdot b_1 = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{3}$ (エ)。

次に、$a_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて表します。

$a_{n+1} = \frac{3}{6} a_n + \frac{2}{6} b_n = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} b_n$。したがって、キは$\frac{1}{2}$、クは$\frac{1}{3}$です。

$a_n + b_n$と$a_n - b_n$の式を求めます。

$a_n + b_n = 1$であることは、$n$回目にAかBのどちらかが必ず投げることから明らかです。したがって、ケは1。

$a_{n+1} - b_{n+1} = (\frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}b_n) - (\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{2}b_n) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})a_n + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})b_n = \frac{1}{6} a_n - \frac{1}{6}b_n = \frac{1}{6} (a_n - b_n)$.

したがって、$a_n - b_n = (a_1 - b_1) (\frac{1}{6})^{n-1} = (1-0) (\frac{1}{6})^{n-1} = (\frac{1}{6})^{n-1}$.よって、コは$(\frac{1}{6})^{n-1}$。問題用紙の枠の形から、ケは1であり、コは$(\frac{1}{6})^n$ではなく$(\frac{1}{6})^{n-1}$だと考えられる。

問題文には$a_u - b_u = 1$と書いてあるが、これは間違いである。正しくは$a_1 - b_1 = 1$である。

$a_n = \frac{1 + (\frac{1}{6})^{n-1}}{2}$。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：0

ウ：$\frac{1}{2}$

エ：$\frac{1}{3}$

オ：$\frac{1}{2}$

カ：$\frac{1}{3}$

キ：$\frac{1}{2}$

ク：$\frac{1}{3}$

ケ：1

コ：$(\frac{1}{6})^{n-1}$