AとBがサイコロを投げ合うゲームについて、n回目にAがサイコロを投げる確率を$a_n$、Bがサイコロを投げる確率を$b_n$とする。初期値$a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$を求め、$a_{n+1}$と$b_{n+1}$をそれぞれ$a_n$と$b_n$で表す。さらに、$a_n + b_n$と$a_n - b_n$をnの式で表す。

1. 問題の内容

AとBがサイコロを投げ合うゲームについて、n回目にAがサイコロを投げる確率を$a_n$、Bがサイコロを投げる確率を$b_n$とする。初期値$a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$を求め、$a_{n+1}$と$b_{n+1}$をそれぞれ$a_n$と$b_n$で表す。さらに、$a_n + b_n$と$a_n - b_n$をnの式で表す。

2. 解き方の手順

まず、初期値を求めます。

- 1回目にAが投げるので、$a_1 = 1$, $b_1 = 0$

- 2回目にAが投げる確率は、1回目にAが1, 2, 3の目を出す場合なので、$a_2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

- 2回目にBが投げる確率は、1回目にAが4, 5の目を出す場合なので、$b_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

次に、$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$で表します。

- Aがn+1回目に投げるのは、n回目にAが投げて1, 2, 3の目を出すか、Bが投げて4, 5の目を出すかのいずれかである。

従って、$a_{n+1} = \frac{3}{6} a_n + \frac{2}{6} b_n = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} b_n$

- Bがn+1回目に投げるのは、n回目にAが投げて4, 5の目を出すか、Bが投げて1, 2, 3の目を出すかのいずれかである。

従って、$b_{n+1} = \frac{2}{6} a_n + \frac{3}{6} b_n = \frac{1}{3} a_n + \frac{1}{2} b_n$

最後に、$a_n + b_n$と$a_n - b_n$をnの式で表します。

$a_{n+1} + b_{n+1} = (\frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} b_n) + (\frac{1}{3} a_n + \frac{1}{2} b_n) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) a_n + (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) b_n = \frac{5}{6} (a_n + b_n)$

$a_1 + b_1 = 1 + 0 = 1$なので、$a_n + b_n = (\frac{5}{6})^{n-1}$

$a_{n+1} - b_{n+1} = (\frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} b_n) - (\frac{1}{3} a_n + \frac{1}{2} b_n) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) a_n + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) b_n = \frac{1}{6} (a_n - b_n)$

$a_1 - b_1 = 1 - 0 = 1$なので、$a_n - b_n = (\frac{1}{6})^{n-1}$

3. 最終的な答え

- ア: 1

- イ: 0

- ウ: 1/2

- エ: 1/3

- オ: 1/2

- カ: 1/3

- キ: 1/3

- ク: 1/2

- ケ: $(\frac{5}{6})^{n-1}$

- コ: $(\frac{1}{6})^{n-1}$