1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回出るか、または裏が3回出たところで終了します。表と裏の出方は何通りあるか求める問題です。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回出るか、または裏が3回出たところで終了します。表と裏の出方は何通りあるか求める問題です。

2. 解き方の手順

表を○、裏を×で表すと、表が3回出る場合と裏が3回出る場合を考えます。

* 表が3回出る場合

* 2回目までに表が2回出て、3回目に表が出る場合

* 2回目までに表が1回、裏が1回出て、3回目に表、4回目に表、5回目に表が出る場合

* 2回目までに裏が2回出て、3回目に表、4回目に表、5回目に表が出る場合

同様に考えると、表が3回出るパターンは、

* 3回で終わる：○○○ (1通り)

* 4回で終わる：○○×○, ○×○○, ×○○○ ($3C_1 = 3$通り)

* 5回で終わる：○○××○, ○×○×○, ○××○○, ×○○×○, ×○×○○, ××○○○ ($4C_2 = 6$通り)

表が3回出るのは最大5回の試行で終わることを考慮し、最終的に表が出ることを前提として、それまでの試行で表が2回以下しか出ていないパターンを数えます。

具体的には、$n$回目に終了する場合、$n-1$回目までに表が2回、裏が$n-3$回出ている必要があります。

したがって、$n-1$回までの表と裏の出方の組み合わせは、${n-1}C_2$となります。

$n$は3から5までなので、表が3回で終わる場合は${2}C_2 = 1$通り、4回で終わる場合は${3}C_2 = 3$通り、5回で終わる場合は${4}C_2 = 6$通りです。合計は$1+3+6=10$通りです。

* 裏が3回出る場合

表が3回出る場合と同様に考えると、裏が3回出るパターンも10通りです。

したがって、表が3回出るか、裏が3回出るかの合計は$10 + 10 = 20$通りです。

3. 最終的な答え

20通り