男子4人、女子3人が横一列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。 (1) 両端が女子 (2) 少なくとも一方の端が男子 (3) 女子はすべて隣り合う (4) 女子どうしが隣り合わない

1. 問題の内容

男子4人、女子3人が横一列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。

(1) 両端が女子

(2) 少なくとも一方の端が男子

(3) 女子はすべて隣り合う

(4) 女子どうしが隣り合わない

2. 解き方の手順

(1) 両端が女子の場合

まず両端の女子の選び方は、3人から2人を選ぶ順列なので $3 \times 2 = 6$ 通り。

残りの5人の並び方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

よって、全体の並び方は $6 \times 120 = 720$ 通り。

(2) 少なくとも一方の端が男子の場合

全体の並び方は $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通り。

両端が女子である並び方は(1)で求めた通り720通り。

したがって、少なくとも一方の端が男子である並び方は $5040 - 720 = 4320$ 通り。

(3) 女子はすべて隣り合う場合

女子3人をひとまとめにして考えると、全体で5つのものを並べることになる。

その並び方は $5! = 120$ 通り。

女子3人の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

よって、全体の並び方は $120 \times 6 = 720$ 通り。

(4) 女子どうしが隣り合わない場合

まず男子4人を並べる。その並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

男子4人の間にできる隙間は5箇所ある。

その5箇所から3箇所を選んで女子を並べる。その並び方は ${}_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

よって、全体の並び方は $24 \times 60 = 1440$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 4320通り

(3) 720通り

(4) 1440通り