8個の球が入った袋が3つ（A, B, C）あります。それぞれの袋には1から8までの異なる数字が書かれた球が入っています。A, B, Cから1個ずつ球を取り出し、取り出した球に書かれた数をそれぞれ$a$, $b$, $c$とします。 (1) $a$, $b$, $c$がすべて異なる確率を求めます。 (2) $a + b + c = 8$である確率を求めます。

1. 問題の内容

8個の球が入った袋が3つ（A, B, C）あります。それぞれの袋には1から8までの異なる数字が書かれた球が入っています。A, B, Cから1個ずつ球を取り出し、取り出した球に書かれた数をそれぞれ$a$, $b$, $c$とします。

(1) $a$, $b$, $c$がすべて異なる確率を求めます。

(2) $a + b + c = 8$である確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$, $b$, $c$がすべて異なる確率

まず、A, B, Cから球を取り出す場合の総数は、$8 \times 8 \times 8 = 512$通りです。

$a$, $b$, $c$がすべて異なる場合は、

Aから1個球を選ぶ方法は8通り、

BからAで選んだ球以外の球を選ぶ方法は7通り、

CからA, Bで選んだ球以外の球を選ぶ方法は6通りあります。

したがって、$a$, $b$, $c$がすべて異なる場合の数は、$8 \times 7 \times 6 = 336$通りです。

よって、求める確率は、$\frac{336}{512} = \frac{168}{256} = \frac{84}{128} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}$となります。

(2) $a + b + c = 8$である確率

$a, b, c$は1から8までの整数なので、$a + b + c = 8$を満たす組み合わせを考えます。

ただし、$a, b, c$はそれぞれ独立に1から8までの値を取ります。

考えられる組み合わせは以下の通りです。

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

これらの組み合わせの個数は、6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21通りです。

したがって、$a + b + c = 8$となる確率は、$\frac{21}{512}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{21}{32}$

(2) $\frac{21}{512}$