連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (x < 0, x > 2) \end{cases}$ で与えられているとき、$E[X] = \frac{4}{3}$, $E[X^2]$, $V[X] = \frac{2}{9}$ を求めよ。ただし、$E[X] = \frac{4}{3}$ と $V[X] = \frac{2}{9}$ の値は既知とする。

1. 問題の内容

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (x < 0, x > 2) \end{cases}$ で与えられているとき、$E[X] = \frac{4}{3}$, $E[X^2]$, $V[X] = \frac{2}{9}$ を求めよ。ただし、$E[X] = \frac{4}{3}$ と $V[X] = \frac{2}{9}$ の値は既知とする。

2. 解き方の手順

まず、$E[X^2]$ を計算します。$E[X^2]$ は、確率密度関数を用いて次のように計算できます。

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$

この問題では、$f(x)$ は $0 \le x \le 2$ の範囲でのみ $0$ でない値を持つので、積分範囲は $0$ から $2$ になります。したがって、

$E[X^2] = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{x}{2} dx = \int_{0}^{2} \frac{x^3}{2} dx$

積分を計算すると、

$E[X^2] = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

これは問題文に書いてある通りです。念の為確認しました。

次に、$V[X]$ は与えられているので、$E[X^2]$ を求めます。

分散 $V[X]$ は、期待値 $E[X]$ と $E[X^2]$ を用いて次のように表されます。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

したがって、$E[X^2] = V[X] + (E[X])^2$ となります。

問題文から $E[X] = \frac{4}{3}$ であり、$V[X] = \frac{2}{9}$ であることがわかっているので、

$E[X^2] = \frac{2}{9} + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{16}{9} = \frac{18}{9} = 2$

3. 最終的な答え

$E[X^2] = 2$