確率変数 $X$ が与えられており、その確率分布は以下の通りです。 $X=2$ のとき、確率 $P(X=2) = \frac{1}{6}$ $X=3$ のとき、確率 $P(X=3) = \frac{1}{3}$ $X=4$ のとき、確率 $P(X=4) = \frac{1}{2}$ 期待値 $E(X)$, $E(X^2)$, 分散 $V(X)$ をそれぞれ求めます。画像に $E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$ の一部が記載されています。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が与えられており、その確率分布は以下の通りです。

$X=2$ のとき、確率 $P(X=2) = \frac{1}{6}$

$X=3$ のとき、確率 $P(X=3) = \frac{1}{3}$

$X=4$ のとき、確率 $P(X=4) = \frac{1}{2}$

期待値 $E(X)$, $E(X^2)$, 分散 $V(X)$ をそれぞれ求めます。画像に $E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$ の一部が記載されています。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{1}{2}$

$E(X) = \frac{2}{6} + \frac{3}{3} + \frac{4}{2} = \frac{1}{3} + 1 + 2 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{3} + \frac{9}{3} = \frac{10}{3}$

(2) $E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{3} + 4^2 \cdot \frac{1}{2}$

$E(X^2) = 4 \cdot \frac{1}{6} + 9 \cdot \frac{1}{3} + 16 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{3} + \frac{16}{2} = \frac{2}{3} + 3 + 8 = \frac{2}{3} + 11 = \frac{2}{3} + \frac{33}{3} = \frac{35}{3}$

(3) 分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{35}{3} - (\frac{10}{3})^2 = \frac{35}{3} - \frac{100}{9} = \frac{105}{9} - \frac{100}{9} = \frac{5}{9}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{10}{3}$

$E(X^2) = \frac{35}{3}$

$V(X) = \frac{5}{9}$